BAB I BILANGAN BULAT DAN BILANGAN PECAHAN
G. Sifat-sifat
Operasi pada Himpunan
BAB III BENTUK ALJABAR
B. Operasi
Pada Bentuk Aljabar
C. Operasi
Pecahan dalam Aljabar
D. Menyederhanakan
Pecahan Bentuk Aljabar
BAB IV PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINIER SATU VARIABEL
A. Pengertian
Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV)
B. Pertidaksamaan
Linear Satu Variabel1
BILANGAN BULAT DAN BILANGAN PECAHAN
Kompetensi Inti
1.
Memahami pengetahuan
berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi terkait fenomena dan kejadian
tampak mata.
2.
Mencoba,mengolah dan
menyaji dalam ranah konkret sesuai dengan yang dipelajari di sekolah dan sumber
lain yang sama dalam sudut pandang teori.
Kompetensi Dasar
1.1 Menjelaskan dan menentukan urutan pada bilangan bulat dan
pecahan
1.2 Menjelaskan dan melakukan operasi hitung bilangan bulat
dan pecahan dengan memanfaatkan berbagai sifat operasi hitung
1.3 Menjelaskan dan menentukan refrensentasi bilangan dalam
bentuk bilangan berpangkat bulat positif dan negatif
2.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan urutan
beberapa bilangan bulat dan pecahan
2.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan operasi
hitung bilangan bulat dan pecahan
2.3 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan bilangan
dalam bentuk bilangan berpangkat bulat positif dan negatif
Tujuan Pembelajaran
1.
Siswa mampu menjelaskan urutan
pada bilangan bulat dan pecahan.
2.
Siswa mampu menjelaskan
berbagai sifat operasi hitung yang melibatkan bilangan bulat dan pecahan.
3.
Siswa mampu menyatakan
suatu bilangan dalam bentuk bilangan berpangkat bulat.
4.
Siswa mampu menentukan
hasil operasi hitung bilangan bulat dan bilangan pecahan dengan memanfaatkan
berbagai sifat operasi.
A.
Bilangan Bulat
1.
Pengertian
Bilangan bulat terdiri atas bilangan bulat positif atau bilangan asli, bilangan nol dan
bilangan bulat negatif.
|
• |
• |
• |
• |
• |
• |
• |
• |
• |
|
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
bilangan bulat negatif Bilangan nol bilangan bulat positif
Bilangan bulat terdiri dari:
·
Bilangan bulat positif : { 1, 2, 3, 4, .....}
·
Bilangan bulat negatif : {...., -4, -3, -2, -1}
·
Bilangan nol : {0}
Di dalam bilangan bulat termuat bilangan-bilangan :
1. Bilangan Cacah C = (0,1,2,3,4,...) bilangan yang dimulai dari nol
2. Bilangan Asli A (1,2,3,4,...) Bilangan yang dimulai dari 1
3. Bilangan Genap G (2,4,6,8,...) Bilangan yang habis dibagi 2
4. Bilangan Ganjil (1,3,5,7,...)
Bilangan yang tidak habis dibagi 2 (bersisa)
5. Bilangan Prima (2,3,5,7,11,...)
Bilangan asli yang hanya habis dibagi oleh bilangan satu dan bilangannya sendiri
2.
Operasi Hitung pada Bilangan Bulat
a.
Penjumlahan dan Pengurangan
Berlaku :
1).
a + b = a + b
2).
a – b = a + (-b )
3).
-a + (-b) = -
(a +
b)
4).
a– (-b)
= a
+ b
contoh:
1).
4 + 3 = 7
2).
6 - 4 = 6 + (-4) = 2
3).
-3 + (-2) = -
(3+2) = -5
4).
9 – (-5) = 9 + 5 = 14
b.
Perkalian dan Pembagian
Perkalian merupakan penjumlahan secara berulang.
Contoh: 3 x 5 = 5 + 5 + 5 = 15
Berlaku:
1).
a x b
= ab
2).
a x (– b) = - ab
3).
(-a) x b = -
ab
4). (-a) x (-b) = ab
Contoh:
1).
5 x 6 = 30
2).
4 x (-7) = - 28
3).
(-3) x 4 = -12
4). (-6) x (-7) = 42
- Pembagian merupakan kebalikan/invers dari perkalian.
x =
1).
a : b
=
2).
a : (– b) = -
3).
(-a) : b = -
4).
(-a) : (-b) =
3.
Sifat-sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat
a.
Sifat Komutatif (pertukaran)
1)
Pada penjumlahan a + b = b + a
Contoh: 4 + 8 = 8 + 4
2)
Pada perkalian
a x
b = b x a
Contoh : 4 x 8 = 8 x 4
b.
Sifat Asosiatif (pengelompokan)
3)
Pada penjumlahan a + (b + c) = (a + b) + c
Contoh: 4 + ( 5 + 6) = ( 4 + 5 ) + 6 = 15
4)
Pada perkalian
a x
(b x c ) = (a x b) x
c
Contoh : 4 x (5 x 6) = ( 4 x 5) x 6 = 120
c.
Sifat Distributif (penyebaran)
5)
Pada operasi perkalian terhadap penjumlahan
a x
(b + c ) = (a x b ) +
( a
x c )
Contoh: 2 x ( 3 + 4 ) = (2 x 3 ) + ( 2 x 4 ) = 14
6)
Pada operasi perkalian terhadap pengurangan a x (b -
c )
= (a x b ) -
( a x c )
Contoh: 5 x ( 7 - 6 ) = (5 x 7 ) - ( 5 x 6 ) = 5
4.
Pangkat dan Akar Pangkat Bilangan Bulat
a.
Kuadrat dan Pangkat Tiga
Bilangan Bulat
1) Kuadrat Bilangan Bulat (Pangkat dua)
Diperoleh dengan mengalikan bilangan itu dengan bilangan itu sendiri, atau mengalikan bilangan tersebut secara berulang sebanyak dua kali.
a2=a x a
Contoh :
1). 42 = 4 x 4 = 16
2). (-9)2 =
(-9) x (-9) = 81
2)
Pangkat Tiga Bilangan Bulat
Diperoleh dengan mengalikan bilangan tersebut secara berulang sebanyak tiga kali.
a3 = a x a x a
Contoh:
1). 63 = 6 x 6 x 6 = 216
2). (-5)3 =
(-5) x (-5) x (-5) = (25) x (-5) = -125
b.
Akar Kuadrat dan Akar Pangkat Tiga
1) Akar Kuadrat
Merupakan kebalikan dari kuadrat (pangkat dua).
Lambangnya √ (akar).
Contoh :
√49 = ±7, karena72 = 49 dan (-7)2
= 49
√121 = ±11, karena 112 = 121 dan
(-11)2 = 121
2)
Akar Pangkat Tiga
Merupakan kebalikan dari
pangkat tiga.
Lambangnya
Contoh :
(Cara menghitung cepat akar kuadrat dan akar
pangkat tiga ada di lampiran bag akhir).
B.
Bilangan
Pecahan
Bilangan pecahan
terdiri dari pembilang dan penyebut
a = pembilang dan b = penyebut
1.
Macam-macam Bilangan Pecahan
a.
Pembilangnya lebih kecil dari
penyebut ; a < b
b.
Pembilangnya lebih besar dari penyebut
; a > b.
Contoh :
c.
Pecahan decimal
Pecahan yang dalam penulisannya menggunakan tanda koma.
Contoh: 0, 5 ; 1, 75
Bentuk desimal dapat diubah ke pecahan
biasa atau campuran dengan menggeser tanda koma ke arah kanan dengan memperhatikan persepuluhan,
perseratusan, perseribuan dst.
Contoh;
1). Bentuk pecahan dari 0,5 adalah tanda koma digeser kekanan 1 kali sehingga 0,5 menjadi 5, pergeseran sebanyak 1 kali, maka nilai hasil pergeseran dikalikan dengan
persepuluhan menjadi:
5
2). Bentuk pecahan dari 1,75
adalah tanda koma digeser kekanan 2 kali sehingga 1,75 menjadi 175.
Pergeseran sebanyak 2 kali, maka nilai hasil pergeseran dikalikan dengan
perseratusan menjadi:
d.
Pecahan Persen
Pecahan yang menggunakan lambang % yang berarti perseratus. a% =
· Mengubah bentuk persen menjadi pecahan biasa
25% =
· Mengubah bentuk persen menjadi pecahan decimal
35% =
· Mengubah bentuk pecahan menjadi bentuk persen
e.
Pecahan permil
Pecahan yang menggunakan lambang
0/00 yang berarti perseribu,
Contoh :
200/00
=
2.
Operasi Hitung pada Bilangan Pecahan
a.
Penjumlahan
Penjumlahan pada pecahan biasa, penyebutnya disamakan dulu baru dijumlah.
Contoh:
Apabila penyebutnya tidak sama cari KPK dari penyebutnya
itu. KPK dari 3 dan 4 adalah 12 ( cara mencari KPK lihat di Bab FPB dan KPK)
sehingga perhitungannya menjadi:
Ada cara lain dengan tidak menggunakan KPK yaitu dengan
1).
Penjumlahan pada pecahan
campuran
Apabila penyebutnya sudah sama, penjumlahan bisa langsung dilakukan.
Contoh:
Apabila penyebutnya tidak
sama, maka harus disamakan dulu.
2).
Penjumlahan pada pecahan
decimal
Dengan cara bersusun pendek, tanda koma lurus
ke bawah.
Contoh:
|
0,75 + 0,655 = … Jawab : 0,75 0,655 1,405 |
15,546 + 1,75 + 0,40 =… Jawab : 15,546 11,75 00,40 17,696 |
b.
Pengurangan
Sama dengan penjumlahan pengurangan juga terdiri dari
1).
Pengurangan pada pecahan
biasa
Penyebutnya disamakan dulu baru dijumlah.
Contoh:
Apabila penyebutnya tidak
sama cari KPK dari penyebutnya itu. KPK dari 4 dan 5 adalah 20 ( cara mencari
KPK lihat di Bab FPB dan KPK). Sehingga perhitungannya menjadi:
2).
Pengurangan pada pecahan campuran
Apabila penyebutnya sudah sama, pengurangan bisa langsung dilakukan.
Contoh:
Apabila penyebutnya tidak
sama, maka harus disamakan dulu
3).
Pengurangan pada pecahan decimal
Dengan cara bersusun pendek, tanda koma lurus ke bawah.
Contoh:
|
1,25 + 0,65 = … Jawab : 1,25 0,65 0,60 |
13,54 – 1,75=… Jawab : 13,54 11,75 11,79 |
C. Perkalian
Perkalian pada pecahan
biasa dilakukan dengan mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut.
Contoh:
Apabila bilangan pecahan dikalikan dengan bilangan
bulat, maka pembilangan pecahan dikalikan dengan bulangan bulat tersebut.
Contoh :
1).
Perkalian pada pecahan campuran
Pecahan campuran harus diubah dulu ke dalam pecahan
biasa baru
dilakukan pengalian.
Contoh :
2).
Perkalian pada pecahan decimal
Perkalian dilakukan dengan cara bersusun pendek, awalnya tanda koma
diabaikan, tetapi pada hasil perkaliannya diberi tanda koma sesuai dengan jumlah tanda koma.
Contoh :
|
3,5 x 6,7 = … Jawab : 3,5 6,7 23,45 |
4,54 x 5,75 =… Jawab : 4,54 5,75 26,105 |
Hasil perkalian desimal dengan
angka 10, 100, 1000 dst hasilnya ditentukan dengan menggeser tanda koma ke kanan
sesuai dengan banyaknya angka nol.
Contoh:
2,456 x 10 = 24,56 bergeser 1 kali ke
kanan
2,456 x 1000 = 2456 bergeser 3 kali ke kanan
D. Pembagian
1).
Pembagian pada pecahan biasa
Apabila pecahan
biasa dibagi dengan pecahan biasa, maka hasilnya adalah
perkalian pecahan
biasa yang dibagi dengan kebalikan dari pecahan pembagi.
Contoh:
Apabila pecahan
biasa dibagi dengan bilangan asli, maka
Contoh:
Apabila bilangan asli dibagi dengan pecahan
biasa
Contoh :
2).
Pembagian pada pecahan campuran
Mengubah pecahan campuran ke pecahan
biasa dulu.
Contoh:
3).
Pembagian pada pecahan decimal
Dilakukan dengan cara bersusun pendek.
Contoh:
43,5 : 2,9 = .... pembagi dan yang dibagi dikalikan 10 menjadi
435:29=
BAB
HIMPUNAN
Kompetensi Inti
1. Memahami pengetahuan berdasarkan rasa ingin tahunya
tentang ilmu pengetahuan, teknologi
terkait fenomena dan kejadian tampak mata.
2. Mencoba,mengolah dan menyaji dalam ranah konkret sesuai
dengan yang dipelajari di sekolah dan sumber lain yang sama dalam sudut pandang
teori.
Kompetensi Dasar
3.4 Menjelaskan himpunan,himpunan bagian, himpunan
semesta,himpunan kosong, komplemen himpunan dan melakukan operasi binerpada himpunan menggunakan masalah
kontekstual
4.4 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan
himpunan,himpunan bagian, himpunan semesta,himpunan kosong,komplemen himpunan dan opersai biner pada himpunan
Tujuan Pembelajaran
1.
Siswa mampu mengamati
penggunan himpunan dalam kehidupan sehari hari
2.
Siswa mampu mencermati
permasalahan yang berkaitan dengan
himpunan bagian, himpunan semesta , himpunan kosong, anggota
himpunan,himpunan kuasa, kesamaan dua himpunan, irisan antar himpunan,gabungan
antar himpunan, komplemen himpunan,selisih dan sifat sifat operasi himpunan.
3.
Siswa mampu menyatakan
suatu bilangan dalam bentuk bilangan berpangkat bulat
4.
Siswa mampu menentukan
hasil operasi hitung bilangan bulat dan bilangan pecahan dengan memanfaatkan
berbagai sifat operasi
A. Pengertian
Himpunan
Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau obyek yang mempunyai definisi yang jelas.
Contoh:
1. A adalah himpunan bilangan genap antara 1 sampai dengan 11.
Anggota himpunannya adalah 2,4,6,8,10.
Jadi A = {2,4,6,8,10}
2. B adalah himpunan bilangan asli kurang dari 10
Anggota himpunannya adalah 1,2,3,4,5,6,7,8,9
Jadi B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
3. C adalah
himpunan nama bulan yang huruf depannya J
Anggota himpunannya adalah Januari, Juni, Juli
Jadi C = {Januari, Juni, Juli}
B. Anggota
Himpunan
Anggota himpunan adalah semua benda atau obyek yang terdapat di dalam himpunan. Anggota himpunan dinyatakan dengan notasi ∈ dan jika bukan anggota himpunan
dinyatakan dengan notasi ∉. Banyaknya anggota
himpunan A dinyatakan dengan n(A).
Contoh:
A adalah himpunan bilangan prima kurang dari 10 ditulis:
A={bilangan prima kurang dari 10} atau A = {2,3,5,7}
maka 2 ∈ A, 3 ∈ A, 5 ∈ A, 7 ∈ A sedangkan 1 ∉ A, 4 ∉ A, 6 ∉ A, 8 ∉A, 9 ∉A
C. Menyatakan
Suatu Himpunan
Untuk menyatakan himpunan dapat digunakan 3 cara :
2. Menuliskan dengan kata-kata atau syarat keanggotaannya
3. Memberikan notasi pembentuk himpunan
4. Mendaftarkan anggota-anggotanya
|
No |
Dengan Kata-kata |
Notasi Pembentuk Himpunan |
Mendaftarkan Anggotanya |
|
1 |
A adalah himpunan Bilangan genap di bawah 10 |
A={x|x < 10 x ∈ bilangan genap} |
A= {2,4,6,8} |
|
2 |
B adalah himpunan kelipatan 5 di bawah 20 |
B={x|x <
20 x ∈ kelipatan 5} |
B={5,10,15} |
D. Macam-macam
Himpunan
1.
Himpunan kosong
Himpunan yang tidak mempunyai anggota, dilambangkan dengan {
} atau ∅
Contoh:
P adalah himpunan nama bulan yang diawali huruf K.
Tidak ada nama bulan yang diawali dengan huruf K, maka P={ }
2. Himpunan terhingga
Himpunan yang banyak anggotanya terhingga atau terbatas.
Contoh:
P adalah himpunan bilangan genap di bawah 5, ditulis P ={2,4}
3. Himpunan tak terhingga
Himpunan yang banyak anggotanya tak terhingga atau tak terbatas.
Contoh:
Q adalah himpunan bilangan cacah, ditulis Q={0,1,2,3,...}
4. Himpunan semesta
Himpunan yang memuat semua objek (anggota himpunan) yang dibicarakan.
Himpunan semesta dilambangkan dengan “S”.
Contoh :
R = {1,2,3,4,5}
Himpunan semesta yang mungkin adalah:
S={bilangan asli di bawah 10},
S={Bilangan cacah} dsb.
5. Himpunan Bagian
Himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B jika setiap anggota A menjadi anggota B, ditulis dengan
notasi A ⊂ B.
Contoh :
A={2,4}
B={1,2,3,4,5} maka A ⊂ B
Himpunan A dengan banyak
anggota n(A) mempunyai himpunan bagian yang mungkin dari himpunan itu sebanyak
2n(A).
Contoh:
Diketahui himpunan
A={2,3,5} n(A) = 3
Banyak himpunan yang
mungkin dari himpunan A adalah :
2n(A)= 23 = 8
Himpunan bagian dari A
adalah:
{ }, {2}, {3}, {5},
{2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}
Himpunan kosong merupakan
himpunan bagian dari setiap himpunan.
6. Himpunan Ekuivalen
Himpunan A dan B dikatakan Ekuivalen jika banyak anggota kedua himpunan
tersebut sama n(A) = n(B).
Contoh:
A={1,2,3} n(A) = 3
B={4,5,6} n(B) = 3
n(A) = n(B), maka A ekuivalen dengan B
E. Diagram
Venn
Diagram Venn adalah suatu diagram yang digunakan untuk meyatakan sebuah
himpunan atau beberapa himpunan yang saling berhubungan.
Aturan untuk membuat diagram Venn:
1. Himpunan semesta digambarkan dalam sebuah persegipanjang, simbol S ditulis pada
pojok kiri atas.
2. Setiap himpunan yang dibicarakan ditunjukkan dengan gambar berupa kurva tertutup sederhana.
3. Setiap anggota himpunan ditunjukkan dengan noktah atau titik
Contoh:
S= {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
A={2,4,6,8,10,12}
B={10,12,14,16,18,20}
Diagram Vennnya:
S A B 2 4 6 8 14, 16, 18, 20 10,
12
.
F. Operasi
pada Himpunan
1. Irisan Himpunan
Irisan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan
anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota himpunan B.
Irisan himpunan A dan B dinotasikan dengan:
Daerah yang diarsir
merupakan daerah A ∩ B
Contoh:
Diketahui:
A={bilangan ganjil kurang dari 10}
B={bilangan prima kurang dari 10}
Carilah
A ∩ B dan gambar diagram Vennnya!
Jawab :
A={1,3,5,7,9}
B={2,3,5,7}
A ∩ B = { 3,5,7 }
Diagram
Vennnya:
S A B 1 9 2 3,
5, 7
2. Gabungan Himpunan
Gabungan dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya
merupakan himpunan A saja atau himpunan B saja.
Gabungan himpunan A dan B dinotasikan dengan:
Daerah yang diarsir merupakan daerah himpunan A
Contoh:
Diketahui:
A={faktor prima dari 30}
B={Nilai genap dibawah 10}
Tentukan A
Jawab:
A={2,3,5}
B={2,4,6,8}
A ∪ B ={2,3,4,5,6,8}
Diagram Vennnya:
S A B 3 5 4 6 8 2
3. Selisih Himpunan
Selisih himpunan A dan B adalah himpunan anggota A yang tidak menjadi anggota B.
Contoh:
Diketahui:
A={1,2,3,4,5}
B={4,5,6,7,8}
Tentukan A
– B!
Jawab:
A-B = {1,2,3,4,5} - {4,5,6,7,8} = {1,2,3}
4. Jumlah Himpunan
Contoh:
Diketahui:
A={a,b,c,d,e,f}
B={d,e,f,g,h,i}
Tentukan A + B!
Jawab:
A+B= {a,b,c,d,e,f} + {d,e,f,g,h,i} = {a,b,c,g,h,i}
5. Komplemen
Jika S adalah himpunan semesta dan A adalah suatu himpunan.
Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota
himpunan S yang bukan anggota
himpunan A.
Komplemen A dinotasikan dengan A´ atau AC.
Contoh:
S={1,2,3,4,5,6}
A={4,5,6}
Tentukan AC !
Jawab:
AC = {1,2,3}
G. Sifat-sifat
Operasi pada Himpunan
1. Komutatif.
A ∩ B = B ∩ A
A ∪ B = B ∪ A
2. Asosiatif
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
3. Distributif
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
4. Dalil De Morgan
Komplemen himpunan A adalah
himpunan yang anggota-anggotanya bukan
anggota A dan dilambangkan dengan AC.
(A ∩ B)C = AC ∪ BC
BAB
BENTUK ALJABAR
Kompetensi
Inti
|
Kompetensi
Inti |
1.
Memahami pengetahuan
berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi terkait fenomena dan kejadian
tampak mata.
2.
Mencoba,mengolah dan
menyaji dalam ranah konkret sesuai dengan yang dipelajari di sekolah dan sumber
lain yang sama dalam sudut pandang teori.
Kompetensi
Dasar
3.4 Menjelaskan bentuk aljabar dan melakukan operasi pada bentu
aljabar ( penjumlahan, pengurangan , perkalian,pembagian )
4.5 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan bentuk
aljabar dan opersai pada bentuk aljabaar.
Tujuan
Pembelajaran
1.
Siswa mampu mencermati
bentuk aljabar dan berbagai model bentuk penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar yang disajikan,cara menyederhanakan bentuk
aljabar
2.
Siswa mampu
menyajikan hasil pembelajaran tentang
bentuk aljabar, operasi hitung aljabar, dan menyederhanakan bentuk aljabar.
3.
Siswa mampu memecahkan
masalah yang berkaitan dengan bentuk aljabar,operasi bentuk aljabar serta penyederhanaan bentuk aljabar.
A. Pengertian
Bentuk Aljabar
1. x, 2y, x+3y , 3p+5q, a2 + b + 3 disebut bentuk aljabar
2. ax2 + bx
+ c = 0 ; a,b,c,x dan 0 adalah lambang-lambang aljabar
a dan b disebut koefisien
c
disebut konstanta
x2 dan x disebut variabel
3. 2x2, 2 disebut koefisien dan X2
disebut variable
4. 5q, 5 disebut koefisien dan q disebut variable
5. 2x dan 3x merupakan dua suku sejenis
6. 5 x 2 dan 7 x
merupakan dua suku tidak sejenis
B. Operasi
Pada Bentuk Aljabar
1. Penjumlahan dan Pengurangan
Suku-suku yang dapat dijumlahan/dikurangkan adalah suku-suku yang
sejenis,
yang
dijumlahkan/dikurangkan adalah koefisiennya.
a. Penjumlahan
ax + bx = (a+b)x
ax + b +
cx + d = (a+c)x +
(b+d)
Contoh:
1).
7x + 3x = ?
2).
-2 x2 - 3 x2 = ?
3).
2 x2 -3
+ x2 - 4 = ?
Jawab :
1).
7x + 3x
= (7+3)x = 10x
2).
-2 x2 - 3 x2 =
(-2-3) x2 =
-5
x2
3).
2 x2 -3 + x2 - 4 = (2+1) x2 +
(-3-4) = 3 x2 - 7
b. Pengurangan
ax - bx = (a-b)x
ax - b - cx - d = (a - c)x - (b+d)
Contoh :
1).
7x – 3x =
?
2).
5x – 8 – 2x – 1 = ?
Jawab :
1).
7x – 3x = (7-3)x = 4x
2).
5x
– 8
– 2x – 1 = (5-2)x – (8+1) = 3x - 9
2. Perkalian dan
Pembagian
a. Perkalian
· Perkalian konstanta dengan bentuk aljabar
a(bx+cy) = abx + acy
Contoh :
1).
5 (2x+4y) = 10x + 20y
2).
-3(3x-2y) = -9x + 6y
· Perkalian bentuk aljabar dengan bentuk aljabar
ax(bx+cy) = ab x2 + acxy
ay(bx+cy) = abxy + ac y 2
(x+a) (x+b) = x2 + bx
+ ax +ab
Contoh :
1).
3x(2x+3y) = 6 x2 + 9xy
2).
(3x+y) (x-2y) = 3 x . x + (3x .
-2y) + y. x + (y . -2y)
= 3 x2 + (-6xy)+xy+(-2 y2 )
= 3x2 -
5xy
- 2 y2
· Pembagian
Contoh:
1).
(8x + 4): 4 =
2).
3. Pemangkatan
Sifat-sifat pemangkatan bilangan bulat berlaku juga pada pemangkatan bentuk aljabar.
Contoh:
1).
(3x)2 = 3x . 3x
= 9
x 2
2).
(2xy)2 = 2xy . 2xy = 4x2y2
a. Pemangkatan bentuk aljabar dalam bentuk x + y
Contoh:
(x + y)2 = (x+y) (x+y)
=(x+y) x + (x+y) y
= x2 + xy + xy +
y2
= x2 + 2xy + y2
b. Pemangkatan bentuk aljabar dalam bentuk x – y.
Contoh:
(x - y)2 = (x -
y) (x - y)
=(x- y) x - (x - y) y
= x2 -
xy
- xy + y2
= x2 -
2xy
+ y2
Pemangkatan bentuk-bentuk
aljabar dapat dilakukan dengan menggunakan kaidah Segitiga Pascal sbb:
(x+y)0 = 1 à 1
(x+y)1 = x + y à 1 1
(x+y)2 = x2
+ 2xy + y2 à 1 2 1
(x+y)3 = x3
+ 3x2 y + 3xy2 + y3 à 1 3 3 1
(x+y)4 = x4
+ 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
à1 4 6 4 1
dan seterusnya dan
seterusnya
Perpangkatan bentuk aljabar
(x-y)n dengan n bilangan asli juga menggunakan kaidah Segitiga Pascal, akan tetapi
tanda setiap koefisiennya berganti dari (+) untuk suku ganjil dan (-) untuk suku
genap.
(x - y)0 = 1
(x - y)1 =
x – y
(x - y)2 =
x2 - 2xy + y2
(x - y)3 =
x3 - 3x2y + 3xy2 - y3
(x - y)4 =
x4 -
4x3y + 6x2y2 -
4xy3 + y4 dan seterusnya
4. Pemfaktoran
a. Bentuk distributive
ax ± ay = a (x ± y) a bisa koefisien atau variable.
Contoh:
3x + 9y = 3 (x + 3y) a berbentuk koefisien
ax – ay = a (x – y) a berbentuk variabel
b. Selisih kuadrat
x2 – y2 = (x + y) ( x – y)
Contoh:
x2 – 42 = x2 – 16 = (x + 4) (x
– 4)
c. Kuadrat Sempurna
x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 x2 -
2xy + y2 =
(x - y)2
Contoh:
x2 + 8x + 16 = (x + 4)2
x2 – 8x + 16 = (x – 4)2
d. Bentuk ax2 +
bx + c = 0 dimana a = 1
ax2 + bx + c = (x + m) (x + n) dengan m + n = b dan m.n = c
Contoh:
x2 + 7x + 12 = (x + 4) ( x + 3)
m +
n = 7 dan m .
n =
12
yang memenuhi adalah m= 4 dan n= 3 atau m= 3 dan n= 4
e. Bentuk ax2 +
bx + c = 0 dimana a
≠ 1 a.c =
m.
n dan m + n =
b
Contoh:
2x2 + 3x + 1 = 0
2 . 1 = m .
n dengan syarat m + n = 3
yang memenuhi adalah m = 2 dan n = 1 atau sebaliknya
maka
2x2 + 3x + 1 = 0 menjadi 2x2 + 2x + x + 1 = 0
= 2x (x + 1) + 1 (x+1) = 0
= (2x + 1 ) (x
+ 1)
C. Operasi
Pecahan dalam Aljabar
Dalam Bentuk Aljabar juga dapat berupa pecahan
Contoh:
1. Penjumlahan dan Pengurangan
Konsep penjumlahan dan pengurangan pecahan
dalam bentuk aljabar sama dengan penjumlahan/pengurangan pecahan biasa yaitu
dengan menyamakan penyebutnya terlebih dahulu.
Contoh:
a.
b.
=
=
2. Perkalian dan Pembagian
a. Perkalian
Pada perkalian bentuk pecahan
penyelesaiannya dengan cara mengalikan
pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut.
Contoh:
b. Pembagian
Pada pembagian bentuk pecahan penyelesaiannya sama dengan bentuk pecahan biasa.
Contoh :
3. Pemangkatan
Pemangkatan pecahan bentuk aljabar adalah perkalian pecahan
bentuk aljabar itu
sendiri sebanyak n kali.
Contoh :
D. Menyederhanakan
Pecahan Bentuk Aljabar
Penyederhanaan
pecahan bentuk aljabar dapat dilakukan dengan menggunakan operasi bentuk aljabar. Faktor kan pembilang dan penyebut kemudian faktor yang
sama dari pembilang dan penyebut dibagi.
E. FPB
dan KPK Bentuk Aljabar
Contoh:
Carilah FPB dan KPK dari bentuk: 12xy2, 24xyz2 dan 8x2yz
!
Jawab:
FPBà ambil faktor yang sama dengan pangkat terkecil
KPKà ambil semua faktor yang sama, pilih faktor dengan pangkat terbesar
Faktor prima:
12xy2 = 22 . 3 .
x . y2
24xyz2 = 23 .
3 . x . y . z2
8x2yz = 22. x2. y. z
FPB = 22 .x
. y = 4xy
KPK = 23.3. x2. y2. z2 = 24 x2 y2 z2
BAB
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINIER SATU VARIABEL
Kompetensi Inti
1.
Memahami pengetahuan
berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmupengetahuan, teknologi terkait
fenomena dan kejadian tampak mata
2.
Mencoba,mengolah dan
menyaji dalam ranah konkret sesuai dengan yang dipelajari di sekolah dan sumber
lain yang sama dalam sudut pandang teori
Kompetensi Dasar
3.5 Menjelaskan persamaan dan pertidaksamaan linier satu
variabel dan penyelesaiannya
4.6 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan dan
pertidaksamaan linier satu variabel
Tujuan
Pembelajaran
1.
Siswa mampu menentukan
nilai variabel untuk persamaan linier satu variabel.
2.
Siswa mampu menentukan
nilai variabel untuk pertidaksamaan linier satu variabel.
3.
Siswa mampu menyelesaikan
masalah nyata yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan linier satu
variabel.
A. Pengertian
Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV)
Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang dihubungkan dengan tanda sama dengan (=) dan hanya memiliki satu variabel berpangkat
satu.
1.
Bentuk Umum Persamaan Linear Satu Variabel
Bentuk umum Persamaan Linear Satu Variabel :
ax
+ b = c
dengan:
a. a≠ 0 ; x disebut variabel/peubah
b. Semua suku di sebelah kiri tanda ‘=’ disebut ruas kiri
c. Semua suku di sebelah kanan tanda ‘=’ disebut ruas kanan
Contoh:
a. x - 4 = 0
b. 5x + 6 = 16
Catatan :
Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung satu atau lebih variabel dan belum diketahui nilai kebenarannya.
Contoh:
x + 2 =5 p + 1 = 7 x dan p disebut variable
Jika x dan p diganti dengan suatu bilangan/angka
maka kalimat matematika terbuka tersebut merupakan suatu pernyataan yang dapat bernilai benar atau salah.
Jika x dalam kalimat terbuka di atas diganti dengan nilai x = 3 maka x + 2 menjadi 3 + 2 = 5 àmerupakan pernyataan benar dan jika diganti dengan nilai x = 1 maka x + 2 = 5 menjadi 1 + 2 = 5àmerupakan pernyataan
salah
2.
Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel
a. Menambah atau mengurangi kedua ruas (kanan kiri) dengan bilangan
yang
sama.
Contoh :
1).
Carilah penyelesaian dari : x + 10 = 5
Jawab :
Hal pertama yang harus kita
selesaikan adalah bagaimana menghilangkan angka 10. Angka 10 dihilangkan dengan menambahkan lawan
dari
10 yaitu -10 sehingga PLSV tersebut menjadi :
x + 10 -10 = 5 – 10 x = - 5
2).
Carilah penyelesaian dari :
2x - 5 = 11
Jawab :
lawan dari -5 adalah 5
sehingga PLSV tersebut menjadi :
2x - 5 + 5= 11 + 5
2x = 16
X=8
b.Mengalikan atau membagi kedua ruas (kanan kiri) dengan bilangan yang sama
Suatu PLSV dikatakan ekuivalen (sama) apabila kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama.
Contoh:
Tentukan penyelesaian dari
Jawab:
(1) kalikan kedua ruas dengan penyebutnya
(dalam soal di atas adalah 3)
(2) Bagi kedua ruas dengan koefisien dari x yaitu 2
x=9
3.
Menyelesaikan PLSV dengan menggunakan gabungan dari 1 dan 2 di atas.
Contoh :
Carilah penyelesaian dari 3 (3x + 2) = 6 ( x -2)
Jawab :
9x + 6 = 6x – 12
9x + 6 – 6 = 6x
– 12 – 6à kedua ruas dikurang 6
9x = 6x – 18
9x – 6x = 6x – 18 – 6xàkedua ruas dikurangi -6x
3x = -18
Kedua ruas dibagi 3
x = - 6
B. Pertidaksamaan
Linear Satu Variabel
Pertidaksamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang dinyatakan dengan menggunakan tanda/lambang ketidaksamaan/pertidaksamaan dengan satu variable (peubah)
berpangkat satu.
|
Lambang pertidaksamaan |
Arti |
|
> |
Lebih dari |
|
≥ |
Lebih dari atau sama dengan |
|
< |
Kurang dari |
|
≤ |
Kurang dari atau sama |
|
≠ |
Tidak sama dengan |
Contoh :
3x + 6 ≥ 2x – 5
5q – 1 < 0
x dan q disebut variabeL
1.
Menyelesaikan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PLSV)
a.Menambah atau mengurangi kedua ruas (kanan kiri) dengan bilangan
yang
sama
Contoh :
Carilah penyelesaian x + 6 ≥ 8
Jawab :
x + 6 – 6 ≥ 8 – 6 x ≥ 2
b.Mengalikan atau membagi kedua ruas (kanan kiri) dengan bilangan yang sama.
Jika dikalikan atau dibagi bilangan negatif maka tanda pertidaksamaannya
dibalik
Contoh :
1).
Carilah penyelesaian 2x – 4 < 10
Jawab :
2x – 4 + 4
< 10 + 4
2x < 14
x < 7
2).
Carilah penyelesaian 3 – 4x
≥
19
Jawab:
3 – 4x - 3 ≥ 19 – 3
-4x ≥ 16
-x ≥ 4
-x . -1 ≤ 4 . -1 àkedua ruas dikalikan -1, sehingga lambang
pertidaksamaannya dibalik x≤ -4
